Объём и площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы
Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Объём и площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.
Призма — это любой многогранник, стороны которого имеют форму параллелограмма. Также у его основания может появиться любой многогранник — от треугольника до n-угольника. Кроме того, основания призм всегда совпадают. Это не касается боковых граней — они могут существенно различаться по размеру.
- Призма — это многогранник, в котором две грани являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а все остальные — параллелограммами. Равные многоугольники называются основаниями призмы, а остальные стороны — боковыми гранями. В призме есть ребра — линии пересечения двух ее граней. Ребра как бы образуют каркас призмы.
- Призмы можно разделить на несколько видов по тому, какая фигура лежит в основании: треугольник, четырехугольник, шестиугольник или любой другой многоугольник. Призмы бывают прямые и наклонные. В прямых призмах боковые ребра перпендикулярны основанию, а в наклонных — нет. Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
- Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами. Параллелепипеды бывают наклонными и прямыми. Прямые параллелепипеды включают в себя прямоугольные параллелепипеды, которые, в свою очередь, делятся на произвольные, правильные и кубы.
- В призме можно найти площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и объем. Для каждого из этих случаев необходимо пользоваться формулами.
Площадь основания призмы правильной
Пожалуй, самой простой задачей при работе с призмами является проблема нахождения площади основания правильной фигуры. Поскольку оно образовано n-угольником, у которого все углы и длины сторон являются одинаковыми, то всегда можно разделить его на одинаковые треугольники, у которых известны углы и стороны. Суммарная площадь треугольников будет площадью n-угольника.
Еще один способ определить часть площади поверхности призмы (основание) заключается в использовании известной формулы. Она имеет следующий вид:
Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)
То есть площадь Sn n-угольника однозначно определяется исходя из знания длины его стороны a. Некоторую сложность при расчете по формуле может составить вычисление котангенса, особенно когда n>4 (для n≤4 значения котангенса — это табличные данные). Для определения этой тригонометрической функции рекомендуется воспользоваться калькулятором.
Калькуляторы по геометрии
Геометрия 6,7,8,9,10,11 класс, ЕГЭ, ГИА
Элементы правильной четырехугольной призмы
На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:
- Основания ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 равны и параллельны друг другу
- Боковые грани AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, каждая из которых является прямоугольником
- Боковая поверхность — сумма площадей всех боковых граней призмы
- Полная поверхность — сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
- Боковые ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
- Диагональ B 1 D
- Диагональ основания BD
- Диагональное сечение BB 1 D 1 D
- Перпендикулярное сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .
Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.
Решение .
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.
Что собой представляет призма?
Перед тем как рассчитывать площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы и других видов этой фигуры, следует разобраться, что они собой представляют. Затем научимся определять интересующие величины.
Призмой, с точки зрения геометрии, называется объемное тело, которое ограничено двумя произвольными одинаковыми многоугольниками и n параллелограммами, где n — это число сторон одного многоугольника. Нарисовать такую фигуру легко, для этого следует изобразить какой-нибудь многоугольник. Потом провести из каждой его вершины отрезок, который будет равен по длине и параллелен всем остальным. Затем требуется соединить концы этих линий между собой так, чтобы получился еще один многоугольник, равный исходному.
Выше видно, что фигура ограничена двумя пятиугольниками (они называются нижним и верхним основаниями фигуры) и пятью параллелограммами, которые на рисунке соответствуют прямоугольникам.
Все призмы отличаются друг от друга двумя главными параметрами:
- типом многоугольника, лежащего в основании фигуры;
- углами между параллелограммами и основаниями.
Количество сторон прямоугольника дает название призме. Отсюда получаем выше упомянутые треугольную, шестиугольную и четырехугольную фигуры.
Также они различаются по величине наклона. Что касается отмеченных углов, то если они равны 90 o , тогда такую призму называют прямой, или прямоугольной (угол наклона равен нулю). Если некоторые из углов прямыми не являются, то фигура зовется косоугольной. Различие между ними видно с первого взгляда. Рисунок ниже демонстрирует эти разновидности.
Тут всё понятно,впервые начинаю понимать стереометрию
Супер Aper! Рады помочь!
Когда читаю теорию этого учебника, такое ощущение, что я разговариваю с другом. Настолько все просто и приятно. Сказать, что я влюбилась в этот материал, ничего не сказать. Спасибо вам!
Бася, вы нас растрогали таким комментарием. Спасибо большое! Удачи на экзамене!
Некоторые комментарии прошлых лет об этой статье:
Илья
26 ноября 2017
Огромное вам спасибо за созданный сайт, он очень удобен и информативен. Мне сложно представить какое количество времени было потрачено на «переработку» материала в понятном и доступном виде.Теперь есть источник чистых знаний, без лишней «воды», который не только помогает узнать новое, но и систематизировать информацию в голове. Жаль, что я не нашел сайт раньше. Вы лучшие!
Дмитрий
21 февраля 2018
Сайт отличный!Все подробно описано. Никогда не понимал эту тему, но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему. Спасибо вам за ваши труды. Очень вам благодарен.
Regina
29 марта 2018
Аааааааа,это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии…Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спасибо большое!
Настя
21 мая 2018
Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно.
Женя
27 февраля 2019
можете указать свои инициалы? мне это для проекта надо)
Анна
29 апреля 2019
Преподнесено очень понятным языком, с наглядными картинками, спасибо) Хотелось бы хоть пример одной задачи и решение чтобы было открыто бесплатно, чтобы понять на сколько хорошо поясняете, но я думаю все ок.
Жанна
27 апреля 2020
Спасибо! Я — учитель и мне очень понравилось!
Николай
04 июня 2020
Все очень доступно и понятно. Только вот не написано в статье про диагональ призмы. А так все просто супер, подготовился к сессии по данному материалу 🙂
Алексей Шевчук
05 июня 2020
Николай, спасибо. Диагонали в разных призмах разные, а в треугольной её и вовсе нет, поэтому длина диагонали — частный случай, а не какая-то полезная формула. Стоит рассмотрения разве что диагональ прямоугольного параллелепипеда — она вычисляется по теореме Пифагора и равна корню из суммы квадратов рёбер.
Площадь основания призмы правильной
Пожалуй, самой простой задачей при работе с призмами является проблема нахождения площади основания правильной фигуры. Поскольку оно образовано n-угольником, у которого все углы и длины сторон являются одинаковыми, то всегда можно разделить его на одинаковые треугольники, у которых известны углы и стороны. Суммарная площадь треугольников будет площадью n-угольника.
Еще один способ определить часть площади поверхности призмы (основание) заключается в использовании известной формулы. Она имеет следующий вид:
S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)
То есть площадь S n n-угольника однозначно определяется исходя из знания длины его стороны a. Некоторую сложность при расчете по формуле может составить вычисление котангенса, особенно когда n>4 (для n≤4 значения котангенса — это табличные данные). Для определения этой тригонометрической функции рекомендуется воспользоваться калькулятором.
При постановке геометрической задачи следует быть внимательным, поскольку может потребоваться найти площадь оснований призмы. Тогда полученное по формуле значение следует умножить на два.
Указания к решению задач
При решении задач на тему «правильная четырехугольная призма» подразумевается, что:
Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия — призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .
Известно, что площадь основания призмы равна 12 Ј (см ^ 2 \), а ее длина 5 см. Вычислите объем фигуры.
Площадь основания уже задана, поэтому форма основания не имеет значения. Замените известные значения в уравнении:.
В основании прямой призмы лежит четырехугольник со сторонами α и β 6 см и 3 см. Высота этой формы составляет 10 см. Вычислите его объем.
Поскольку сначала нам нужно определить площадь четырехугольника и вычислить его объем, мы используем следующее уравнение: Ј(V = a \ cdot b \ cdot h \)
Если основание четырехугольной призмы квадратное, а сама форма прямая, то она называется нормальной призмой. Стоит пояснить, что если все стороны призмы прямоугольные, каждая из которых перпендикулярна основанию, то призма прямая. Схема справа показана ниже.
Каковы две формулы для определения объема прямоугольной призмы?
Примените формулы V = л × ш × ч и V = б × ч для прямоугольных призм, чтобы найти объемы правильных прямоугольных призм с целочисленными длинами ребер в контексте решения реальных и математических задач.
Какими двумя способами можно найти объем прямоугольной призмы? Чтобы найти объем прямоугольной призмы, умножьте длину, ширину и высоту.
Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда?
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда можно вычислить по формуле суммирование площадей шести граней. Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда представляют собой прямоугольники одинакового размера, поэтому найдите общую площадь трех разных граней, а затем удвойте, чтобы найти общую площадь поверхности.
Какова площадь поверхности призмы? Площадь поверхности призмы определяется как S = (2 × площадь основания) + (периметр основания × высота) где «S» — площадь поверхности призмы.
а. Поскольку это прямоугольная усеченная призма, все боковые грани перпендикулярны нижнему основанию. Это делает каждую боковую грань призмы правильной трапецией. Вычислите края верхнего квадратного основания, используя указанные в задаче меры.
S 1 = √12 2 + (20-20) 2
S 1 = 12 сантиметров
S 2 = √12 2 + (20 — 14) 2
S 2 = 6√5 сантиметров
S 3 = √12 2 + (14 — 14) 2
S 3 = 12 сантиметров
S 4 = √12 2 + (20 — 14) 2
S 4 = 6√5 сантиметров
б. Вычислите площадь нижнего квадратного основания и верхнего прямоугольного основания.
ВЕРХНИЙ = 12 х 6√5
ВЕРХНИЙ = 72√5 см 2
НИЖНИЙ = 12 х 12
НИЖНИЙ = 144 см 2
б. Вычислите площадь прямоугольной и трапециевидной граней данной усеченной прямоугольной призмы.
А 1 = 20 х 12
A 1 = 240 см 2
А 2 = 1/2 (20 + 14) (12)
A 2 = 204 см 2
А 3 = 14 х 12
А 3 = 168 см 2
А 4 = 1/2 (20 + 14) (12)
А 4 = 204 см 2
d. Найдите общую площадь поверхности усеченной квадратной призмы, суммируя все площади.
TSA = ВЕРХНИЙ + НИЖНИЙ + LSA
TSA = 72√5 + 144 + 240 + 204 + 168 + 204
TSA = 1120,10 см 2
Окончательный ответ: Общая площадь поверхности данной усеченной квадратной призмы составляет 1120,10 см 2.
В оптике призмой называют объект в форме геометрического тела (призмы), выполненный из прозрачного материала. Свойства призм широко используются в оптике, в частности, в биноклях. В призматических биноклях применяются двойная призма Порро и призма Аббе, названные так в честь своих изобретателей. Эти призмы за счет особой структуры и расположения создают тот или иной оптический эффект.
Призма Порро — это призма, в основании которой лежит равнобедренный треугольник. Двойная призма Порро создается благодаря особому расположению в пространстве двух призм Порро. Двойная призма Порро позволяет переворачивать изображение, увеличивать оптическое расстояние между объективом и окуляром, сохраняя внешние габариты.
Призма Аббе — это призма, в основании которой лежит треугольник с углами — 30 о, 60 о, 90 о. призма Аббе используется, когда необходимо перевернуть изображение без отклонения линии взгляда на объект.
Общие сведения о прямой призме
Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.
Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.
Доказательство. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна
S = a 1 l + a 2 l + … + a n l = pl,
где a 1 ,а n — длины ребер основания, р — периметр основания призмы, а I — длина боковых ребер. Теорема доказана.